сопротивления лестничной схемы.

Значение числа может быть получено формально из числового ряда Фибоначчи:

Простая цепная дробь (4) является особой формой замечательного числа , известного в математике как греческое сечение.

тогда выражение (3) принимает следующий вид:

Рассмотрим особый случай. Допустим, что все параметры схемы численно равны:

Итак, продолжение преобразований (1) дает в результате выражение (3), известное как форма Кауэра:

Повторение операций к другим звеньям лестничной схемы дает в пределе бесконечную простую цепную дробь [3]. Этот математический объект был известен еще древним египтянам, которые использовали его замечательные вычислительные свойства при решении различных задач. В теорию электрических цепей простая цепная дробь была введена немецким ученым-электротехником Вильгельмом Кауэром. Он исследовал лестничные электрические фильтры, т.е. цепи переменного тока [1].

Как видно из (1), в процессе преобразований применяются оба закона Кирхгофа:

В работе [2] приведен интересный алгоритм получения выражения для входного сопротивления схемы рис.1:

Традиционно схему принято изображать именно так, как показано на рис.1, хотя очевидно, что все четные элементы имеют общий узел, а ячейки схемы представляют собой контура с тремя сторонами. Треугольные ячейки образуют некоторое подобие пчелиных сот, а наличие общей вершины делает граф похожим на круг, где четные элементы выступают в роли радиуса. Таким образом, сходство с лестницей весьма отдаленное. Заметим, что число звеньев лестничной схемы может быть произвольным, а в пределе бесконечным.

Рис. 1. Изображение лестничной схемы.

Рассмотрим известную электрическую цепь, рис. 1.

Получение функции входного сопротивления лестничной схемы

Понятие «структура » используется чаще всего применительно к электрической цепи как единому целому. Структура схемной функции интересует исследователей реже, хотя никто не станет спорить, что она определяется схемой соединения элементов электрической цепи. Создается впечатление, что внимания специалистов в области теории электрических цепей заслуживает единственная схемная функция (входное сопротивление) электрической схемы, которая носит название лестничной [1].

Предлагается представлять сложные структуры как объединение простых, которые выражают численно принадлежность к определенному типу симметрии.

Аннотация. В статье приводится алгоритм получения функций входного сопротивления для разных электрических цепей. При единичных параметрах цепи выражение функции можно рассматривать как ее структуру.

Статья И.В. Ерохова посвящена приложениям «золотого сечения» в схемах электрических цепей. В свое время я этим очень плотно занимался и некоторые из таких цепей (резистивные делители для цифро-аналоговых преобразователей, построенных наоснове золотой р-пропорции) описаны в некоторых из моих ранних статтей, например, в статье Стахов А.П. Цифровая метрология в кодах Фибоначчи и кодах золотой пропорции. В сборнике «Современные проблемы метрологии». Москва, Изд-во Всесоюзного заочного машиностроительного института, 1978 г. Тем не менее статья Ерохина содержит ряд интересных научных находок, которые меня заинтресовали. В частности, формулы (18), (19), позволяющие представить отношение соседних р-чисел Фибоначчи в виде цепной дроби, являются новыми. Основным недостатком статьи Ерохина (как впрочем и многих других исследователей, занимающихся приложением «золотого сечения» в теории электрических цепей и электросвязи) является отсутствие ссылок на работы «пионеров» в этой области. Я имею в виду прежде всего книгу современного исследователя, египетскогго математика и специалиста в области электрических цепей Мидхата Газале (Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (русский перевод, 2002).), который задолго до Ясинского и других исследователей в этой области развил «золотую» прикладную математику применительно к электрическим цепям и электросвязи.

Комментарий А.П. Стахова

Получение структур схемных функций

P.mt {text-indent: 30px;margin-top: 4px;margin-bottom: 0px;

Академия Тринитаризма -- Школа Золотого Сечения -- Ерохов И В -- Получение структур схемных функций